• 1) Не освещённое луной небо — раз­дель­но. При­ча­стие имеет за­ви­си­мое слово (освещённое чем? луной).
• 2) Не­вы­со­кая, но изящ­ная де­вуш­ка — слит­но. При­ла­га­тель­ное можно за­ме­нить си­но­ни­мом (низ­кая). Про­ти­во­по­став­ле­ние с со­ю­зом «но» (низ­кая, но изящ­ная) не дает раз­дель­но­го на­пи­са­ния, так как нет ан­то­ни­ма к слову «вы­со­кая» (на­при­мер: не вы­со­кая, а низ­кая — было бы раз­дель­но).
• 3) Не нами сде­ла­но — раз­дель­но. НЕ с лич­ны­ми ме­сто­име­ни­я­ми пи­шет­ся раз­дель­но.
• 4) На­хо­дим­ся от­нюдь не близ­ко — раз­дель­но. Есть слово-уси­ли­тель от­ри­ца­ния «от­нюдь не».
• 5) Слыть не­веж­дой — слит­но. Слово не упо­треб­ля­ет­ся без НЕ.

Пра­виль­ные от­ве­ты ука­за­ны под но­ме­ра­ми 1, 3 и 4.